روش سکانت برای ریشه یابی معادلات همراه با اموزش و مثال

برای ریشه ‌یابی معادله با درجات بالا ( بیشتر از ۴ ) دیگر روش‌های مرسوم جبری جوابگو نیست و نیازمند روش های محاسبات عددی است. روش های متعددی برای این مهم در نظر گرفته‌شده است ازجمله روش دو بخشی یا تصنیف، نابجایی، نیوتن رافسون که البته در این مقاله قصد داریم به روش سکانت برای ریشه یابی معادلات همراه با آموزش و مثال بپردازیم.

آموزش روش سکانت

روش نیوتن برای به حداقل رساندن تابع f از مشتق دوم تابع استفاده می نماید:

x ^(k+1) = x ^(k) – (f'(x^(k)) / f”(x^(k)))

حال اگر مشتق دوم در دسترس نباشد، ممکن است تلاش کنیم تا برای تخمین آن از اطلاعات مشتق اول استفاده نماییم. به طور خاص، ممکن است ما تقریبی از تابع f”(x) را از طریق زیر محاسبه نماییم:

f'(x^(k)) – f'(x^(k-1)) / x^(k) –x^(k-1)

با استفاده از تقریب فوق از مشتق دوم، الگوریتم زیر را به دست آوریم که به آن روش سکانت گفته می شود.

x ^(k+1) = x ^(k) – [(x^(k) –x^(k-1) ) / f'(x^(k)) – f'(x^(k-1))] * f'(x^(k))

توجه داشته باشید که الگوریتم ما نیاز به دو نقطه اولیه برای شروع دارد که ما آنها را ⁽X⁽⁰  و ⁽X^(-1  نامگذاری می نماییم. این روش را می‌توان در قالب معادله زیر نشان داد:

x ^(k+1) = [f'(x^(k)) x ^(k-1) – f'(x^(k-1)) x ^(k)] / [f'(x^(k)) – f'(x^(k-1))]

مشاهده می نمایید که مانند متد نیوتن و سکانت به طور مستقیم از مقدار (⁽f(x^(k  استفاده نمی نماید. در عوض، تلاش می کند مقدار مشتق اول تابع ‘f را به سمت صفر هدایت نماید. درواقع ، مانند روش نیوتن، می توان از این متد به عنوان یک الگوریتم برای حل معادلات به شکل g(x) =0  استفاده نمود. به طور خاص این روش برای یافتن معادلات به شکل g(x) =0 به صورت زیر خواهد بود:

x ^(k+1) = x ^(k) – [(x^(k) –x^(k-1) ) / g(x^(k)) – g(x^(k-1))] *g(x^(k))

یا به طور مشابه:

x ^(k+1) = [g(x^(k)) x ^(k-1) – g(x^(k-1)) x ^(k)] / [g(x^(k)) – g(x^(k-1))]

روش سکانت برای پیدا کردن ریشه در شکل زیر نشان داده شده است. بر خلاف روش نیوتن، که از شیب g برای تعیین نقطه بعدی استفاده می نماید ، روش سکانت از ” خط قاطع” بین (k-1) امین و k امین نقطه برای تعیین (k+1) استفاده می نماید.

مثال از روش سکانت برای ریشه یابی یک معادله درجه ۳

ریشه معادله g(x) = x³ – ۱۲٫۲x² +7.45x +42 =0 بررسی نمایید. نقاط اولیه برای شروع را به ترتیب x^(-1) = 13  و x⁽⁰⁾ = 12 در نظر بگیرید.